Что такое топологическая ошибка

Материал из GIS-Lab

Перейти к: навигация,
поиск

ГИС для преподавателей	Часть 6: Топология
	Цель: Понимание топологии векторных данных Ключевые слова: Вектор, Топология, Правила Топологии, Топологические Ошибки, Радиус Поиска, Расстояние Замыкания, Простой Объект

Обзор:

Топология регулирует пространственные отношения связности и соседства векторных объектов (точек, линий и полигонов) в ГИС. Топологические данные полезны для обнаружения и исправления ошибок оцифровки (например, две линии дорог не сходятся на месте перекрестка). Корректная топология необходима для проведения некоторых типов пространственного анализа, таких как сетевой анализ.

Представьте, что Вы поехали в Лондон. Сначала Вы планируете посетить Собор Святого Павла, а вечером поехать на Ковент Гарден за подарками. Смотря на лондонскую карту метро (на Рисунке 58), Вы ищете, как доехать от Собора до Ковент Гарден. Поиск требует топологическую информацию о том, где можно совершать пересадки. На карте метро топологические отношения связности показаны кружками. Пересадки на отмеченных станциях позволяют Вам перейти с одной ветки метро на другую.

Рисунок 58: Топология сети лондонского метро.

Топологические ошибки

Существуют различные типа топологических ошибок, и они могут быть сгруппированы в соответствии с типами геометрии (полигоны или полилинии). Топологические ошибки с полигональными объектами включают незакрытые полигоны, разрывы между прилежащими полигонами, а также перекрывающиеся полигоны. Распространенной ошибкой для линейных объектов является то, когда их конечные вершины не совпадают в тех местах, где они должны совпадать (например, улицы на перекрестках). Подобные ошибки называются «недолетами», когда между линиями наблюдается разрыв, и «перелетами», когда одна линия пересекает другую и заканчивается чуть дальше (см. Рисунок 59).

Рисунок 59: «Недолеты» (1) появляются, когда оцифрованные векторные линии, которые должны соединяться друг с другом, не соединяются.
«Перелеты» (2) происходят, когда одна линия заканчивается за другой линией, к которой должна быть присоединена. Когда вершины
двух полигонов на их границах не совпадают, появляются разрывы (3).

Результатами недолетов и перелетов являются так называемые «висячие узлы» в конце линий. Висячие узлы приемлемы в отдельных случаях, например для тупиковых улиц. Топологические ошибки нарушают отношения между объектами. Эти ошибки должны быть исправлены перед проведением таких типов анализа векторных данных, как сетевой анализ (т.е. поиск кратчайшего маршрута по дорожной сети) или измерения (т.е. выяснение длины рек). Помимо необходимости топологии в сетевом анализе и измерениях, существуют другие причины, почему следует иметь топологически корректные данные. Представьте, что Вы цифруете муниципальные границы Вашего района, и полигоны перекрываются или имеют разрывы. В случае таких ошибок Вы по-прежнему можете пользоваться инструментами измерений, но результаты будут некорректными. Полученная площадь будет неправильной, и будет непонятно, где именно находятся границы (например, в случае перекрывающихся полигонов принадлежность территории к двум муниципалитетам одновременно невозможна!).

Иметь топологически корректные данные важно не только для проведения собственного анализа, но и для других людей, которым Вы можете передать свои данные. Они могут не знать об ошибках и будут расценивать результаты своего анализа как правильные.

Правила топологии

К счастью, многие распространенные ошибки, происходящие при оцифровке, могут быть предотвращены с помощью правил топологии, внедренных во многие ГИС-приложения. Кроме некоторых специализированных форматов геоданных, топология обычно не применяется по умолчанию. Многие широко распространенные ГИС, такие как QGIS, определяют топологию как серию правил, которые могут быть выбраны пользователем и применены к векторным слоям. Следующий список включает некоторые примеры правил топологии, определяемых для объектов реального мира на векторной карте:

• Элементы муниципальной карты не должны перекрывать друг друга.
• Элементы муниципальной карты не должны иметь разрывов.
• Полигоны земельных участков должны быть замкнутыми. «Недолеты» и «перелеты» границ участков не позволяются.
• Горизонтали высот не должны пересекаться.

Топологические инструменты

Многие ГИС-приложения имеют инструменты топологического редактирования. Например, в QGIS Вы можете включить топологическое редактирование для эффективного редактирования общих границ объектов полигональных слоев. ГИС-приложение обнаруживает общие границы объектов, и Вам достаточно будет передвинуть только одну вершину, в то время как приложение обновит вершину прилежащего полигона, как показано на Рисунке 60 (1). Другая опция топологического редактирования – установка ограничения на перекрытие полигонов (см. Рисунок 60 (2)). В QGIS, если Вы нарисуете новый полигон поверх существующего, приложение обрежет новый полигон по границе существующего.

Рисунок 60: Топологическое редактирование. 1) Когда пользователь сдвигает вершину в углу бордового полигона, соответствующая вершина зеленого квадрата
автоматически следует за ней. 2) Чтобы избежать перекрытия полигонов, новый объект (бордовый) автоматически обрезается по границе существующего (зеленый).

Радиус замыкания

Радиус замыкания – это максимальный радиус поиска, который использует ГИС-приложение для стыковки инструмента редактирования с существующими вершинами или сегментами редактируемого слоя в ходе оцифровки (сегмент – это прямая линия, соединяющая две вершины полилинии или полигона). Если Ваш курсор находится внутри этого радиуса и Вы создаете новую вершину, ГИС-приложение стыкует ее к существующей вершине или сегменту (см. Рисунок 61). В противном случае вершина создается там, где был произведен клик мышью, независимо от существующих вершин.

Рисунок 61: Радиус замыкания (черный кружок) определяется в единицах измерения карты (например, в десятичных градусах)
для стыковки новой вершины к существующим вершинам или сегментам.

Радиус поиска

Радиус поиска – это расстояние, которое ГИС-приложение использует для поиска ближайшей к курсору вершины, когда Вы пытаетесь ее выделить для перетаскивания на карте. По сути, это почти то же самое, что и радиус замыкания, только для редактирования существующих вершин. Он также устанавливается в единицах измерения карты, и нужно попробовать разные значения, чтобы найти оптимальное. Если значение слишком большое, ГИС-приложение может при клике мышью выделить не ту вершину, которую Вы хотели выделить, просто потому что она тоже попала в радиус. Особенно эта проблема актуальна для объектов с большим количеством близко расположенных вершин. Если Вы укажете слишком маленькое значение, вершины вообще не будут выделяться, хотя будет казаться, что Вы подвели курсор прямо к вершине. Выбор оптимального радиуса поиска также зависит от чувствительности мышки и индивидуальных предпочтений пользователя.

О чем стоит помнить:

Топология – это сложное представление векторных данных. Топологические наборы данных хранятся в специальных файловых форматах, включающих описание отношений между объектами. В то же время, наиболее распространенные форматы геоданных являются «простыми», то есть хранят только геометрию и атрибуты. Они разработаны для быстрого отображения на карте и не расчитаны на топологический анализ (например, поиск кратчайшего пути). Многие ГИС-приложения могут отображать и топологические и простые данные, а некоторые могут также создавать и редактировать эти данные.

Что мы узнали?

Закрепим изученный материал:

• Топология описывает пространственные взаимоотношения соседствующих векторных объектов.
• В ГИС-приложениях за топологию отвечают топологические инструменты.
• Топологию можно использовать для выявления и исправления ошибок, возникших в ходе оцифровки.
• Корректная топология необходима для некоторых видов анализа, таких как сетевой анализ.
• Установка радиуса замыкания и радиуса поиска помогает нам производить топологически корректную оцифровку.
• Простые векторные данные не включают топологические правила, но они широко используются в ГИС-приложениях.

Попробуйте сами!

Ниже приведено несколько примеров практических заданий для Ваших учеников:

• Отметьте автобусные остановки на листе топографической карты и попросите учеников найти кратчайший маршрут между двумя остановками.
• Подумайте, как бы Вы создали векторные объекты в ГИС для представления топологической сети дорог в Вашем городе. Какие топологические правила важны в данном случае и какие инструменты QGIS могут использовать ученики, чтобы проверить топологическую корректность созданного набора данных?

Если у Вас нет компьютера:

Вы можете использовать карту автобусных или ж/д маршрутов и обсудить пространственные отношения и топологию с учениками.

Дополнительные материалы:

Книги:

• Сhang, Kang-Tsung (2006): Introduction to Geographic Information Systems. 3rd Edition. McGraw Hill. (ISBN 0070658986)
• DeMers, Michael N. (2005): Fundamentals of Geographic Information Systems. 3rd Edition. Wiley. (ISBN 9814126195)

Веб-сайты:

• http://www.innovativegis.com/basis/primer/concepts.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Geospatial_topology

Руководство Пользователя QGIS включает более детальную информацию о топологическом редактировании.

Что дальше?

В следующем разделе мы изучим системы координат, чтобы понять, как географические данные о шарообразной Земле переносятся на плоские карты.

Основные модели гис-растровая и векторная.

В ГИС
происходит дискретизация—
преобразование реального географического
разнообразия в набор дискретных объектов.

Топология.

Топология изучает пространственные
отношения, которые не изменяются при
любых непрерывных преобразованиях
пространства.

Пространственные отношения— это
такие отношения, с помощью которых
описывают пространственные взаимодействия
объектов (например: находиться
близко/далеко, соприкасаться, находиться).

Свойства топологии.

• Топология
  регулирует пространственные отношения
  связности и соседства векторных
  объектов(точек, линий и полигонов) в
  ГИС.

• Топологические
  данные полезны для обнаружения и
  исправления ошибок оцифровки (например:
  две линии дороги не пересекаются на
  перекрестке).

• Корректная
  топология необходима для проведения
  некоторых типов пространственного
  анализа (таких как сетевой анализ).

Топологические ошибки.

Топологические ошибки с линейными
объектами: конечные вершины не совпадают
в местах, где должны. Подобные ошибки
называются «недолётами» (если разрыв)
или «перелётами» (если пересекаются
линии и заканчиваются чуть дальше).

Тип структуры в квантовой механике

A топологический солитон или «торон» возникает, когда две смежные структуры или пространства каким-либо образом находятся «не совпадают по фазе» друг с другом, что делает невозможным плавный переход между ними. Один из простейших и наиболее распространенных примеров топологического солитона встречается в старомодных спиральных телефонных шнурах телефонных трубок, которые обычно наматываются по часовой стрелке. Годы взятия трубки в руки могут привести к тому, что части шнура будут наматываться в противоположном направлении против часовой стрелки, и когда это произойдет, будет характерная большая петля, разделяющая два направления наматывания. Эта странно выглядящая петля перехода, которая не вращается ни по часовой, ни против часовой стрелки, является отличным примером топологического солитона. Независимо от того, насколько сложен контекст, все, что квалифицируется как топологический солитон, должно на каком-то уровне демонстрировать ту же простую проблему согласования, что и в примере скрученного телефонного кабеля.

Топологические солитоны легко возникают при создании кристаллических полупроводников, используемых в современной электронике, и в этом контексте их эффекты почти всегда вредны. По этой причине такие кристаллические переходы называются топологическими дефектами . Однако эта в основном твердотельная терминология отвлекает от богатых и интригующих математических свойств таких граничных областей. Таким образом, для большинства нетвердотельных контекстов предпочтительнее более позитивная и математически богатая фраза «топологический солитон».

Более подробное обсуждение топологических солитонов и связанных тем приведено ниже.

В математике и физике топологический солитон или топологический дефект является решением системы уравнения в частных производных или квантовой теории поля , гомотопически отличные от вакуумного решения.

Содержание

• 1 Обзор
• 2 Примеры
  • 2.1 Уединенные волновые PDE
  • 2.2 Лямбда-переходы
  • 2.3 Космологические дефекты
    • 2.3.1 Нарушение симметрии
  • 2.4 Биохимия
  • 2.5 Формальная классификация
• 3 Наблюдение
• 4 Конденсированное вещество
  • 4.1 Устойчивые дефекты
• 5 Изображения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Обзор

существование топологического дефекта может быть продемонстрировал всякий раз, когда граничные условия влекут за собой существование гомотопически различных решений. Обычно это происходит из-за того, что граница, на которой заданы условия , имеет нетривиальную гомотопическую группу, которая сохраняется в дифференциальных уравнениях ; тогда решения дифференциальных уравнений топологически различны и классифицируются по их гомотопическому классу. Топологические дефекты не только устойчивы к небольшим возмущениям, но и не могут распадаться, устраняться или распутываться именно потому, что не существует непрерывного преобразования, которое отобразит их (гомотопически) в однородный или «тривиальный» решение.

Примеры

Топологические дефекты возникают в уравнениях в частных производных и, как полагают, вызывают фазовые переходы в физике конденсированного состояния.

Подлинность топологического дефекта зависит от природы вакуума, в который система будет стремиться, если истечет бесконечное время; ложные и истинные топологические дефекты можно различить, если дефект находится в ложном вакууме и истинном вакууме, соответственно.

УЧП уединенной волны

Примеры включают солитон или уединенную волну, которая возникает в точно решаемых моделях, таких как

• винтовые дислокации в кристаллических материалах,
• скирмион в квантовом поле. теории и
• топологические дефекты модели Весса – Зумино – Виттена.

Лямбда-переходы

Топологические дефекты в лямбда-переходах системы классов универсальности, включая:

• винтовые / краевые дислокации в жидких кристаллах,
• «трубках» магнитного потока, известные как флюксоны в сверхпроводниках, и
• вихри в сверхтекучие жидкости.

Космологические дефекты

Топологические дефекты космологического типа — это явления чрезвычайно высоких энергий, которые, как считается, нецелесообразно вызывать в физических экспериментах, связанных с Землей. Топологические дефекты, возникшие при формировании Вселенной, теоретически можно наблюдать без значительных затрат энергии.

Согласно теории Большого взрыва, Вселенная охлаждается из начального горячего плотного состояния, вызывая серию фазовых переходов, очень похожих на то, что происходит в системах с конденсированной материей, таких как как сверхпроводники. Некоторые теории великого объединения предсказывают образование устойчивых топологических дефектов в ранней Вселенной во время этих фазовых переходов.

Нарушение симметрии

Считается, что в зависимости от природы нарушения симметрии в ранней Вселенной в соответствии с механизмом Киббла-Зурека. Хорошо известными топологическими дефектами являются:

• Космические струны — это одномерные линии, которые образуются при нарушении осевой или цилиндрической симметрии.
• Доменные стенки, двумерные мембраны, образующиеся при дискретном симметрия нарушается при фазовом переходе. Эти стенки напоминают стенки пены с закрытыми ячейками, разделяющих вселенную на дискретные ячейки.
• Монополи, кубические дефекты, которые образуются при нарушении сферической симметрии, предположительно имеют магнитный заряд, северный или южный (и поэтому их обычно называют «магнитными монополями »).
• Текстуры образуются, когда более крупные и более сложные группы симметрии полностью нарушены. Они не так локализованы, как другие дефекты, и нестабильны.
• Скирмионы
• Дополнительные измерения и более высокие измерения.

Также возможны другие более сложные гибриды этих типов дефектов.

По мере того, как Вселенная расширялась и остывала, симметрии законов физики начали нарушаться в областях, которые распространяются со скоростью скорости света ; топологические дефекты возникают на границах прилегающих областей. Вещество, составляющее эти границы, находится в упорядоченной фазе, которая сохраняется после завершения фазового перехода в неупорядоченную фазу для окружающих областей.

Биохимия

Также были обнаружены дефекты в биохимии, особенно в процессе сворачивания белка.

Формальная классификация

Упорядоченный носитель определяется как область пространства, описываемая функцией f (r), которая присваивает каждой точке в области параметр порядка, а возможные значения пространства параметров порядка составляют пространство параметров порядка. Гомотопическая теория дефектов использует фундаментальную группу пространства параметров порядка среды для обсуждения существования, стабильности и классификации топологических дефектов в этой среде.

Предположим, R — параметр порядка. пространство для среды, и пусть G — группа Ли преобразований на R. Пусть H — подгруппа симметрии G для среды. Тогда пространство параметров порядка можно записать как фактор-группу Ли R = G / H.

Если G является универсальным покрытием для G / H, то можно показать, что π n (G / H) = π n − 1 (H), где π i обозначает i-ю гомотопическую группу.

Различные типы дефектов в среде могут быть охарактеризованы элементами различных гомотопических групп пространства параметров порядка.. Например, (в трех измерениях) линейные дефекты соответствуют элементам π 1 (R), точечные дефекты соответствуют элементам π 2 (R), текстуры соответствуют элементам π 3 (R). Однако дефекты, которые принадлежат к одному и тому же классу сопряженности π 1 (R), могут непрерывно деформироваться относительно друг друга, и, следовательно, отдельные дефекты соответствуют разным классам сопряженности.

Поэнару и Тулуза показали, что перекрестные дефекты запутываются тогда и только тогда, когда они являются членами отдельных классов сопряженности π 1 (R).

Наблюдение

Топологические дефекты не наблюдались астрономами; однако некоторые типы несовместимы с текущими наблюдениями. В частности, если бы доменные границы и монополи присутствовали в наблюдаемой Вселенной, они бы привели к значительным отклонениям от того, что могут видеть астрономы.

Из-за этих наблюдений образование дефектов в наблюдаемой Вселенной сильно ограничено, что требует особых обстоятельств (см. Инфляция (космология) ). С другой стороны, космические струны были предложены как обеспечивающие начальную «зародышевую» гравитацию, вокруг которой конденсировалась крупномасштабная структура космоса материи. Текстуры также безобидны. В конце 2007 года холодное пятно в космическом микроволновом фоне предоставило доказательства возможной текстуры.

Классы стабильных дефектов в двуосных нематиках

Конденсированные материя

В физике конденсированного состояния теория гомотопических групп обеспечивает естественные условия для описания и классификации дефектов в упорядоченных системах. Топологические методы использовались в ряде задач теории конденсированного состояния. Поэнару и Тулуза использовали топологические методы для получения условия для линейных (струнных) дефектов в жидких кристаллах, которые могут пересекать друг друга без запутывания. Это было нетривиальное применение топологии, которое впервые привело к открытию своеобразного гидродинамического поведения в A-фазе сверхтекучего гелия -3.

Стабильные дефекты

Теория гомотопии глубоко связана со стабильностью топологических дефектов. В случае линейного дефекта, если замкнутый путь можно непрерывно деформировать в одну точку, дефект не является устойчивым, а в противном случае — устойчивым.

В отличие от космологии и теории поля, топологические дефекты в конденсированной среде наблюдались экспериментально. Ферромагнитные материалы имеют области магнитного выравнивания, разделенные доменными стенками. нематик и биаксиальный нематик жидкие кристаллы демонстрируют множество дефектов, включая монополи, струны, текстуры и т. Д.

Изображения

Статическое решение

L знак равно ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ — (ϕ 2-1) 2 { displaystyle { mathcal {L}} = partial _ { mu} phi partial ^ { mu} phi — left ( phi ^ {2} -1 right) ^ {2}}

в (1 + 1) -мерном пространстве-времени. Солитон и антисолитон, сталкивающиеся со скоростями ± sh (0,05) и аннигилирующие.

См. Также

• Конденсированное вещество
• Дифференциальное уравнение
• Дислокация
• Квантовая механика
• Квантовая топология
• Квантовый вихрь
• Топологическая энтропия в физике
• Топологические возбуждения
• Топологические многообразие
• Топологический порядок
• Топологическая квантовая теория поля
• Топологическое квантовое число
• Топологическая теория струн
• Топология
• Векторный солитон

Ссылки

Внешние ссылки

• Cosmic Строки и другие топологические дефекты
• http://demonstrations.wolfram.com/SeparationOfTopologicalSingularities/