Что такое теоретическая ошибка

ОШИБКИ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Какие бывают погрешности

Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.

В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.

Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.

(Подробнее о статистической погрешности)

Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.

(Подробнее о систематической погрешности)

Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.

(Подробнее о погрешности теории и моделирования)

Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).

Что означает погрешность

Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.

Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.

Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.

Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.

Как записывают погрешности

Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.

В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.

Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.

Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:

Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада B_s-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10^–5. В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины f_s/f_d (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B⁰-мезона (потому что измерение B_s-распада косвенно опирается на B⁰-распад).

Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):

И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 10^12 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.

Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как Δx_stat., Δx_sys., Δx_theor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле

Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.

Как изображают погрешности

Когда экспериментально измеренные значения наносятся на график, погрешности тоже приходится указывать. Это обычно делают в виде «усов», как на рисунке слева. Такие «усы» с засечками относятся к глобальной погрешности. Если же хочется разделить статистические и систематические погрешности, то делают так, как показано на рисунке справа. Здесь засечки показывают только статистические погрешности, а полные усы во всю длину отвечают глобальным погрешностям. Другой вариант: выделение полных погрешностей цветом, как это показано, например, на рисунке с данными ATLAS по хиггсовскому бозону.

Наконец, когда экспериментальная точка имеет отдельные погрешности по обеим осям, то их тоже наносят, и результат выглядит в виде крестика.

Предложения со словосочетанием «теоретическая ошибка»

    И. М. Кольтгоф, В. А. Стенгер. Объемный анализ. Госхимиздат, 1950, (т. I. 376 стр.) и 1952, (т. И, 444 стр.). В т. I рассматриваются теоретические основы объемного анализа. Изложена теория методов нейтрализации и соединения ионов, приведены кривые титрования для различных случаев метода нейтрализации. Отдельные главы содержат материал ио теории методов окисления-восстановления, теории индикаторов, по ошибкам титрования. Рассмотрены явления адсорбции и соосаждения, катализа и индукции, применение объемных методов в органическом анализе описаны теоретические положения, касающиеся применения физико-химических методов для определения точки эквивалентности. В т. 11 книги изложено практическое применение методов нейтрализации, осаждения и комплексообразования. В томе 111 (840 стр., 1961 г.) описано применение окислительно-восстановительных методов объемного анализа. [c.486]

    Отсюда 1 — Х = 2,9 10″ , что соответствует ошибке определения 0,29%. В разобранном примере гидролиз цианида в значительной степени подавляется благодаря гидроксильным ионам, доставляемым раствором аммиака. Если исходная концентрация цианида составляет 0,02 М и титрование ведется 0,01 М раствором соли серебра, конечная концентрация Ag (СК) равна 0,005 М и теоретическая ошибка составляет 0,9%. [c.254]

    Теоретическая ошибка титрования (А, % определяется величиной Ркк, начальной концентрацией титруемого иона См и разностью величин рМ в конечной точке титрования (рМ ер) и в точке эквивалентности (рМз) [c.190]

    Какая концентрация хромата теоретически необходима при титровании бромида методом Мора, чтобы осаждение хромата серебра как раз началось в точке эквивалентности Какова относительная ошибка титрования 0,01 М бромида, если концентрация хромата райна 0,002 М. [c.246]

    Для СДа> 0 теоретическая ошибка титрования ничтожно мала, поэтому ее следует учитывать в относительно небольшом интервале значений СКа- [c.55]

    Конечная точка титрования железа (П) в сернокислой среде церием (IV) наблюдается при = 0,88 в. Кокова теоретическая ошибка титрования, если реальные потенциалы пар — Ре и Се —Се составляют соответственно 0,68 и 1,44 е  [c.374]

    А минимальная теоретическая ошибка титрования, % и Эмк — ориентировочная концентрация и условная константа устойчивости комплекса определяемого металла 7 — коэффициент разбавления раствора при титровании. [c.190]

    Теоретическая ошибка прямого титрования [c.292]

    Относительная теоретическая ошибка титрования Да представляет собой разность между значением а для найденной конечной [c.292]

    Зависимость теоретической ошибки титрования Да (%) от условий эксперимента [c.294]

    Теоретическая ошибка титрования при определении М в присутствии N описывается выражением [c.297]

    Теоретическая ошибка при обратном титровании [c.301]

    Кривые титрования хлоридов нитратом серебра в расплавленных солях получаются такими же, как кривые титрования в водных растворах для экзотермических процессов. Относительная ошибка титрования для указанных выше концентраций приближалась к 4%. Применение метода ограничено в связи с трудностью достаточно точного измерения повышения температуры, происходящего в результате реакции. Необходимо, чтобы изменение температуры окружающей среды было на несколько порядков меньше, чем изменение температуры, происходящее в результате рассматриваемой реакции. Теоретически в среде расплавленных солей возможно проводить любые реакции осаждения, комплексообразования или окислительно-восстановительные реакции, однако практически сложность прибора, который требуется для этого, ограничивает применимость расплавленных солей в качестве растворителей. [c.110]

    Если рмь >рму, то уравнение (4.78) упрощается, принимая вид См, е= (сь/Рму ) в этом случае присутствие очень устойчивого комплекса МЬ не влияет на обратное титрование [ср. уравнения (4.53) и (4.56)]. Теоретическая ошибка титрования определяется выражением [c.303]

    Дифференцируя дважды уравнение кривой титрования и приравнивая вторую производную нулю, можно легко показать [1], что на симметричной кривой титрования tii = П2) точка максимума теоретически совпадает с точкой эквивалентности. Это положение лежит в основе потенциометрических методов определения конечной точки. Вместе с тем при /ii 2 и асимметричности кривой титрования вблизи точки эквивалентности в случае, если точку перегиба принимают за конечную точку, наблюдается небольшая теоретическая ошибка. Однако эта ошибка не имеет никакого практического значения, так как она очень незначительна в сравнении с ошибками, связанными с неточностью стехиометрических соотношений, медленным течением реакции при титровании, длительностью установления электродного равновесия и т. д. [c.312]

    Следует заметить, что объем нитрата серебра, необходимый для достижения первой точки эквивалентности, обычно несколько выше теоретического, но общий объем приближается к правильному значению. Это объясняется тем, что более растворимый галогенид серебра осаждается во время образования менее растворимого соединения. Поэтому наблюдается перерасход реагента в первой части титрования. Несмотря на ошибки, возникающие в результате соосаждения, потенциометрический метод широко применяется для анализа смеси галогенид-ионов. Если галогениды присутствуют в приблизительно равных концентрациях, относительная ошибка не превышает 1-2%. [c.242]

    Ниже приводятся теоретические относительные ошибки (в %) титрования слабых кислот для иных значений СКа- [c.55]

    В книге на современном уровне кратко изложены теоретические основы гравиметрии и титриметрии — образование и свойства осадков, типы химических равновесий в гомогенных и гетерогенных растворах описаны кривые титрования проанализированы ошибки в кислотно-основном, осацительном, комплексимет-рическом и окислительно-восстановительном титровании. Подробно рассмотрены аппаратура и техника проведения всех операций в количественном химическом анализе. Все расчеты проведены с учетом новых данных о величинах констант, стандартных потенциалов и т.п. [c.2]

    Ошибка, вычисленная более точно и с учетом гидролиза цианида составляет 0,018%. Конечно, такая ошибка теоретически кажется вполне допустимой, однако на практике титрование занимает очень много времени, так как цианид серебра местами осаждается до наступления конечной точки, а затем растворяется очень медленно. [c.254]

    Обычно раствор дитизона добавляют следующими порциями 1) —% всего предполагаемого количества 2) /г—оставшегося количества и т. д., пока почти весь раствор не будет добавлен, затем добавляют избыток 0,05 мл. Так как при титровании I мкг Ад+ в 50 мл водного раствора 5 мкМ раствором дитизона теоретическая погрешность равна 5%, то при содержании 100 мкг Ag+ эта погрешность должна равняться 0,05% от этой величины. Обычно к этой погрешности еще прибавляются ошибки, возможные при отсчете объема, потери и др., так что практически точность определения составляет 0,2%. [c.98]

    Экспериментальное определение эквивалентной точки титрования, которая соответствует точно стехиометрическим количествам реагентов, — один из наиболее существенных вопросов объемного анализа. Точка, определяемая экспериментально с использованием цветных индикаторов, по появлению осадка или электрометрически, называется конечной. Эквивалентная точка является теоретической, а конечная — экспериментальным приближением к ней последняя поэтому зависит от метода определения. Разница между этими двумя величинами дает ошибку титрования. [c.96]

    Кривые титрования этого типа также можно теоретически вычислить. Скачок у первой точки эквивалентности будет тем больше ( и ошибка титрования будет тем меньше ), чем меньше величина [А [ ] и чем меньше отношение произведений растворимости обеих солей. [c.89]

    I п-ПАК [95], ПАР [323, 494], ПАН-2 [494, 584, 589, 604], комплек-I сонат меди—ПАН-2 [625], ПАФЕН [565] и МАН-1 [16]. Сопостав-I лены теоретические ошибки титрования различных количеств кад- [c.167]

    Для осадков несимметричного зарядового типа, например МАг МгА и т. п., кривая титрования несимметрична, и выражение для относительной точности намного сложнее. Следует помнить, что точка максимальной кривизны (точка перегиба) не совпадает с точкой эквивалеитности на несимметричной кривой титрования. Поэтому, если считать конечной точкой точку перегиба, как это обычно практикуется нри потенциометрических титрованиях, то, как правило, имеет место теоретическая ошибка титрования. Величина ошибки увеличивается с повышением растворимости соединения и при увеличении разбавления. [c.231]

    Пример 12-2. Найдите теоретическую ошибку титрования 0,1 М раствора АеЫОз 0,05 Л1 раствором К2СГО4, если произведение растворимости А2аСг04 равно 2 10″ 2. [c.232]

    Пример 12-3. Рассчитайте теоретическую ошибку титрования иодида и бромида нитратом серебра, если указанные ионы определяются в смеси, содержащей 10- М иодида и 10 М бромида разбавление не учитывать. Хвр для А 1 и AgBr соответственно равны 10- и 4- 10 . [c.233]

    Пример 12-4. Найдите теоретическую ошибку титрования при определении 0,1 М Вг в присутствии 0,01 Л1 I» и С1 соосаждение не учитывать. /(бр, АвС1=2- Ю- о. [c.233]

    Какова теоретическая ошибка титрования, если 0,01 М раствор хлорида с pH 11,3 титруют ионами серебра до появления окиси серебра sp, Ae.o = fAe +] [0Н ] = 5 Ю» / sp, Ag i=2 10″ ° разбавление не учитывать. Ответ. 0,17%, [c.246]

    Пример 13-5. Найдите теоретическую ошибку титрования 10 М раствора магния при pH 10 в присутствии ЭЧТ в качестве индикатора, предполагая два случая констатации конечной точки а) 9% и б) 91% индикатора превратились из Мк1п в Н1п2 . Разбавление и гидролиз ионов магния не учитывать. [c.263]

    Если берется большой избыток титранта, так что суммарная концентрация N (главным образом в виде НУ) в точке эквивалентности также оказывается высокой, то количество не вступившего в реакцию М, выражаемое через См.е, тоже становится большим, особенно в тех случаях, когда комплекс ЫУ облада1ет низкой устойчивостью. Этот фактор уменьшает воспроизводимость определения конечной точки титрования, поскольку наклон кривой титрования обратно пропорционален значению см,е [см. уравнение (4.56)]. Большой избыток хелона уменьшает и точность обратного титрования, как это можно видеть из данных табл. 4.6, которые были вычислены по уравнениям (4.72) и (4.77) для простой системы, состоящей из двух комплексов с одинаковой устойчивостью. Из данных табл. 4.6 следует, что теоретическая ошибка титрования, соответствующая определенной погрешности в определении рМе (предполагается, что АрМ= 0,5), минимальна для умеренного избытка (около 10%) хелона. На практике такой избыток обычно не достаточен для обеспечения полноты реакции илй предотвращения образования осадка. Однако в интервале Сы См=0,1—1,0 не наблюдается значительного возрастания погрешности, так что 100%-ный избыток хелона мало влияет на точность обратного титрования. [c.300]

    Эти данные можно использовать как для внесения соответствующих поправок, так и для вычисления минимального количества титруемого вещества при заданной точности определения. Если, например, на некоторое титрование теоретически необходимо затратить а миллиграмм-эквивалентов КМПО4, то в действительности затрачивается а -т миллиграмм-эквивалентов. Отсюда индикаторная ошибка О в процентах равна  [c.149]

    Теоретическая ошибка титрования (А, %) определяется константой Рмк, начальной концентрацией титруемого иона С м и разностью значений рМ в конечной точке титрования (рМцер) и в точке эквивалентности (рМэ)  [c.225]

    Для определения кадмия в качестве индикаторов предложены п-ПАК [95], ПАР [323, 494], ПАН-2 [494, 584, 589, 604], комплексонат меди—ПАН-2 [625], ПАФЕН [565] и МАН-1 [16]. Сопоставлены теоретические ошибки титрования различных количеств кадмия в присутствии ПАР и ПАН-2 (%) [494]  [c.167]

    Для определения степени разложения фосфата по этому методу периодически (например, каждые 15—30 мин) отбирают из реакционного сосуда пробу пульпы и определяют в ней отношение азотной и фосфорной кислот таким же способом, как это описано на стр, 147 для суперфосфат юй пульпы, т, е, титрованием с двумя индикаторами — метиловым оранжевым (или бромкрезоловым синим) и фенолфталеином. При этом количество оксалата калия или натрия, вводимых в раствор перед титрованием, должно быть достаточным для осаждения всего кальция во избежание ошибки при титровании. Теоретически для этого достаточно количеств К2С2О4 или Ма2С20.1, указанных на стр, 148, Однако для большей надежности следует эти количества увеличить в 1,5—2 раза. [c.348]

    При выполнении титрования главное состоит в определении того момента, когда реактив добавлен точно в требуемом количестве. Если количество прибавленного реактива химически эквивалентно количеству определяемого вещества, то мы говорим, что смесь находится в своей точке эквивалентности. Для опознания точки эквивалентности может быть использовано любое свойство смеси, которое в этой точке или очень близко от нее резко изменяется. Чаще всего прибавляют индикатор, который у точки эквивалентности изменяет цвет или мутность раствора. Точка, при которой индикатор показывает заметное изменение, называется точкой конца титрования. В идеальном случае эта точка должна совпадать с точкой эквивалентности или с теоретическим концом титрования. На практике, однако, конец титрования несколько отклоняется от точки эквивалентности на величину, которая зависит от химических свойств всей системы. Эта разность называется ошибкой гитрования она имеет большое значение и будет рас-шотрена нами в гл. VI. [c.9]

    Точные математические выражения величины ошибки титрования в методе нейтрализации даны Р. S. Roller [J. Аш. hem. So . 54, 3485 (1932)]. Вычисления эти в теоретическом отношении очень интересны, но они слишком сложны для практического их использования, тем более, что и на ионизационные константы слабых электролитов (включая индикаторы) и на коэфициенты активности ионов влияют различные факторы. [c.175]

Теория ошибок

Теория ошибок
– дисциплина, которая изучает законы
возникновения и распределения ошибок
измерений, а также методы их обработки.
Виды измерений: 1)полученные непосредственно
из измерения (длина линии при изм. мерной
летной) и косвенным путем (неприступные
расстояния); 2) необходимые
(назыв.минимальное
кол-во измерений, которое нужно выполнить
для определения искомой величины) и
избыточные
(назыв измерения в которых для контроля
всегда выполняются дополнительные
измерения) вычисл. по формуле : r=n-k,
где n
– общее число изм., k
– необходим число изм.; 3) равноточные
(измерения выполненные одним и тем же
инструментом, при одинаковых внешних
условиях, по одной и той же методике,
наблюдателями одинаковой опытности) и
неравноточные (если хотя бы одно из
условий равноточности нарушается это
приводит к неравноточности).

Ошибки измерений

Теория ошибок делит
ошибки на: грубые(возникают
при просчетах и промахах, теор.ош. их не
изучает), систематические
( назыв ошибки МО которых отлично от
нуля. Н.ошибка компарирования), случайные
(ошибки
измерений которых имеют различные знаки
и их МО равно 0). Св-ва случайных ошибок:
1) их МО равно нулю; 2) Положит и отриц
ошибки появляются равновозможно; 3)
Малые по абсолютной величине ошибки
появляются чаще чем большие; 4) Ошибки
не превосходят определенной величины
равной 3m.
Истинная
ошибка
измерения: Δi=xi-X,
где xi
– результат измерения, Х – истинное
значение измеренной величины. Истинное
значение практически никогда не известно.

Средняя
квадратическая ошибка

Это МО квадрата
истинной ошибки, т.е. нач момент второго
порядка:

.
Истинная ошибка состоит из: Δ=Θ+с;

.
Т.е. любая СКО содержит случайную и
систематическую составляющую.
Систематической ошибкой можно пренебречь
если ее величина равна:
,
Θ – случайная ошибка.

Равноточные
измерения

Условие: измерения
выполненные одним и тем же инструментом,
при одинаковых внешних условиях, по
одной и той же методике, наблюдателями
одинаковой опытности. Т.к. равноточность
подразумевает одинаковую точность
каждого измерения для хар-ки точности
любого одного измерения используют СКО
одного измерения. Наиболее надежным
значением из ряда равноточных измерений
будет среднее арифметическое, которое
вычисляется по формуле:

,
где х – результат измерения, n
– число изм.

Оценка точности
равноточных измерений

1) СКО одного
измерения.
Если известна истинная ошибка измерения
Δ, которая находиться по формуле: Δi=xi-X,
где xi
– результат измерения, Х – истинное
значение измеренной величины.

.СКО
одного измерения находим как: а) n>=30.
Формула Гаусса:

,
где

;
б) n<30.
Формула Бесселя:

.
2) При вычислении СКО удерживают две
значащих цифры. Для того чтобы убедиться
что этого достаточно вычислим СКО самой
СКО:

— если СКО вычислено по формулам Гаусса,

— -«»- по формулам Бесселя; 3) СКО среднего
арифметического: вычисляется по формулам:

,
где m
– CКО
одного измерения, n
– число измерений. 4) Кроме СКО для хар-ки
точности равн.измерний используют
среднюю и вероятную ошибку: Средняя
ошибка —

,
ν – уклонение ср.кв.значения. Для
вычисления вероятной ошибки r,
которая хар-ет середину ряда используют
или ряд истинных значений Δ, или уклонения
от среднего ν.
Эти величины берут по абсолютной величине
и выстраивают в порядке возвр. Вероятная
ошибка r
будет равна центральному значению из
полученного ряда если число измерений
нечетное или среднему из двух центральных
знач. при четном числе измерений.

Относительные
ошибки измерений Абсолютные

Абсолютными ошибками
назыв СКО, среднюю v,
вероятную r,
истинную Θ. Относительной ошибкой –
назыв. величину получаемую как отношение
ошибки измерения к результату измерения:
m_x/x.
В геодезии принято представлять
относительную ошибку в виде простой
дроби: 1/(х/m_x)
И округлять
до целых сотых. В зависимости от того
какую точечную оценку использовали для
хар-ки точности различают относит.
истинная ош. – Δ/х, относит ср.кв.ош –
ν/х, относит вер-я ош – r/x.

СКО функции.
Принцип равного влияния

Если представить
ф-ю F(x)=F(x1,
x2…xn),
которую оцениваем как ф-ю измеренных
величин, то СКО ф-ии для некоррелированных
измерений
будет найдена как:

,
где

— частная производная оцениваемой ф-ии
по i-му
измерению. Если измерения коллерированы:

,
m_xi
m_xj
– коэф.кореляц между i-м
j-м
измерениями. Для определения СКО
отдельных аргументов применяют принцип
равного влияния. Суть принципа в том
что влияние каждого источника ошибок
на конечный результат применяют
одинаковым:

1)СКО алгебраической
суммы: F=x1±x2±..±xn,

— для неравноточных. Частный случай
когда измерения равноточны:

.
В этом случае формула приобретает вид:

2)Как СКО ф-ии
получают и СКО арифметической середины:

,

Неравноточные
измерения

Неравноточными
назыв измерения в которых каждое
измерение будет иметь свою отличную от
других СКО. Вычислить ошибку каждого
неравноточного измерения сложно, поэтому
для хар-ки неравноточ измерений применяют
относительную меру точности, которую
назыв.весом. Веса измерений обратны
квадратам СКО:

,
mi
– ско соотв измерения, с – произвольная
постоянная для данного ряда измерений.
При выборе с стараются чтобы вычисленные
веса измерений были близки к 1.Зная вес
всегда можно определить величину СКО
измерения:

.
При оценке точности заменяют с=μ².

Ошибка единицы
веса для ряда неравноточных измерений
играет ту же роль что и СКО одного
измерения для ряда равноточных:

.
Для вычисления ошибки единицы веса
используют формулу Гаусса:

— когда известно истинное значение,

— при n<30,

— при n>30.

Наиболее надежное
значение из ряда неравноточных измерений
и его оценка точности:

Наиболее надежным
будет ср.весовое

.
Эту величину так же назыв.общая
арифметич.середина. СКО среднего
весового:

.

Вес функции:

Формулы для
вычисления весов ф-ии получают из формул
для вычисления весов ф-ий разделив их
на μ².

Для некоррелированных
измерений:

.
Для коррелированных:

Задача уравнивания

Наличие в сети
избыточных измерений приводит к
неоднозначности определения неизвестных,
а значит возникает задача ур-я, которая
Состоит в определении наиболее надежных
значений неизвестных параметров и их
оценки точности. Мы решали такую задачу
при обработке измерения одной величины
в теории ошибок. Принципиальное отличие
задачи в том что в обработку включаются
разнородные величины. Существует два
вида ур-я: параметрический и корелантный.

Параметрический
способ ур-я

Х – истинное
значение неизвестного параметра, У –
истинное значение измеренной величины,
у – измеренное значение. Результаты
измерений всегда можно связать с какой
то ф-ей. Т.к. в общем случае ур-е (1) нелинейно
приведем его у линейному виду разложив
в ряд Тейлора

Порядок уравнивания
параметрическим способом

1) Выберем неизвестные
и обозначим их xj.
2)Составим у-е связей между измеренными
значениями и неизвестными У=φ(х).
3) Составим параметрическое у-е поправок
А∆х+L=V.
4)Находим приближенное значение
неизвестных и вычисляем свободные члены
параметрических у-ий поправок: φ(х⁽⁰⁾)-у=L.
5) Составим нормальное у-е R∆x+B=0,
R=A^TA,
b=A^TL.
6) Получим поправки из уравнивания
приближенным значением неизвестных
∆х=-R^-1b.
7) Вычислим уравненные значения неизвестных

.
8) Выполним оценку точности.

Запись матричных
выражений в параметрич.способе

Параметрич.у-е
поправок

V=A∆x+L

Для каждого измерения

Матрица поправок
изм.знач.

Матрица частных
произв.

Матрица коэфиц.
норм.ур-й. Св-ва:
1) по диагонали стоят квадратичные коэф.,
они всегда положит. 2) не лиагональные
элементы симметричны относительно
главной диагонали.

Матрица свободных
членов нормальных ур-ий

Номальные у-я для
4 неизвестных

R∆х+b=0

Способы решения
нормальных ур-ий

Прямой способ,
когда решения получают в виде: ax=b,
x=b/a.
При прямых способах мы можем заранее
указать кол-во операций. Приближенный
способ, когда решения получаем в виде:
ax+x-x-b=0,
xⁱ=(1-a)x^i-1-b,
т.е. в каждом последующем приближении
I
используется значение неизвестного
x^i-1
полученное
в предыдущем приближении. В этом способе
мы заранее не можем описать кол-во
операций, но этот способ занимает меньше
памяти в ЭВМ.

Оценка точности
при параметрическом способе

а) оценка точности
неизвестных. Обратный вес уравненного
значения каждого неизвестного будет
равен соотв.диагональному элементу
обратной матрицы коэф.норм. ур-й
.В
матрице Q
по диагонали стоят обратные веса
неизвестных ее так же назыв. весовой
матрицей.

б) вычисление ошибки
единицы веса. При параметр. способе
ошибки единицы веса вычисляются по
формуле:
,
здесь v
может быть вычислено по формуле:

,
где n
– общее число изм., k
– число необходим изм., равное числу
определяемых неизвестных.

Ур-ие неравноточных
измерений

1)пусть измерения
неравноточны, чтобы привести их к
равноточному виду мы умножим их на
матрицу:

.
Получим у-е:

.
Решаем задачу также как и для равноточных
изм.: получим нормальное у-е и вектор
решения:

;

.
Из ур-я мы получим

,
чтобы получить величину V.
После ур-я разделим поправки:

2) для учета
неравноточных измерений во все алгоритмы
Гаусса ввести веса измерений и получит
алгоритмы в виде:

;

Коррелатный
способ ур-я

Сущность ур-я
коррелатным способом заключается в том
чт задачу нахождения минимума ф-ии
зависимых переменных [pv2]
решают способом Лагранжа, вводя
вспомогательные множители независимых
условных ур-ий. Приводит к тем же
результатам что и параметрический, но
иногда более выгоден.

Порядок ур-я
корелатным способом

1) Подсчитываем
число избыточных измерений в геод.сети.
Каждое избыточное измерение приводит
к возникновению независимого ксловного
у-я поправок. 2) Составляем у-е связей
между измеренными величинами которые
выражают какое-то математическое
соотношение: φ(У)=0;
3) Составляем условное у-е поправок:
BV+w=0;
4) Составляем нормальные у-я: Nk+w=0;
5)Получаем корелаты решив у-е любым
известным споcобом:
k=-N^-1w;
6) вычисляем поправки к измеренным
величинам: V=p^-1B^Tk;
7)Вычисляем уравненные значения измеренных
величин

;
8) По уравненным значениям измерений
вычисляем значения неизвестных; 9) Оценка
точности.

Подробная запись
матричных выражений

C
учетом у-я поправок:

Нормальные у-я в
подробной записи:

,
где

— обратный вес

Порядок обработки
ряда неравноточных измерений

1) Вычисляем общую
арифметич. середину:
,
где ε_i=x_i-x’,
x’=minx_i
. 2)
Вычисялем уклонения v_i=х_о-х_точн
и выполняем контроль

,
где ошибка округления при вычислении

будет
.
3)Вычисляем [pv²]
с контролем:

.
4) Вычисляем μ, M,
m_μ,
m_M
b
и строим
доверительные интервалы

Порядок обработки
ряда равноточных измерений

1.Вычисляем простую
арифметич. середину:
,
где ε_i=x_i-x’,
x’-
приближенное значение х (обычно
минимальное значение x_i).
2) Вычисляем отклонения v_i=
х_i-x_окр,
и выполняем контроль

,
где β – ошиюка округления х —

.
3) Вычисляем [v²]
с контролем:

.
4) Вычисляем m,
M,
m_m.
5)Cтроим
доверительные интервалы

;
;

Число нормальных
ур-й в параметрическом и корелатном
способе

В параметрическом
способе: это определенная система из k
линейных уравнений с k
неизвестными: R∆х+b=0.
В корелатном: в системе нормальных
уравнений число уравнений r
равно числу неизвестных.

Алгоритм гаусса.
Эквивалентные ур-я.

Система эквивалентных
у-й имеет вид:

Алгоритм полученный
для вычисления коэффициентов в
экквивалентной системе, назыв алгоритмом
Гаусса. Первый сомножитель получается
как произведение первой буквы знаменателя
на первую букву раскрываемого алгоритма,
а второй как произведение второй буквы
знаменателя на его вторую букву

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #