Что характеризует стандартная ошибка доли

Точность оценки долей

Если бы в наших руках были данные по
всем членам совокупности, то не было бы
никаких проблем связанных с точностью
оценок. Однако нам всегда приходится
довольствоваться ограниченной выборкой.
Поэтому возникает вопрос, насколько
точно доли в выборке соответствуют
долям в совокупности.

Рис. 5.4. А. Из совокупности марсиан, среди
которых 150 зеленых и 50 розовых, извлекли
случайную выборку из 10 особей. В выборку
попало 5 зеленых и 5 розовых марсиан, на
рисунке они помечены черным. Б. В таком
виде данные предстанут перед исследователем,
который не может наблюдать всю совокупность
и вынужден судить о ней по выборке.
Оценка доли розовых марсиан p = 5/10 = 0,5.

Как любая выборочная оценка, оценка
доли (обозначим ее p^{^}) отражает
долю р в совокупности, но отклоняется
от нее в силу случайности. Рассмотрим
теперь не совокупность марсиан, а
совокупность всех значений p^{^} ,
вычисленных по выборкам объемом 10
каждая. (Из совокупности в 200 членов
можно получить более 10⁶ таких
выборок). По аналогии со стандартной
ошибкой среднего найдем стандартную
ошибку доли. Для этого нужно
охарактеризовать разброс выборочных
оценок доли, то есть рассчитать стандартное
отклонение совокупности p^{^}.

где σ _p^ — стандартная ошибка
доли, σ — стандартное отклонение, n —
объем выборки.

Заменив в приведенной формуле истинное
значение доли ее оценкой p^{^} ,
получим оценку стандартной ошибки доли:

Из центральной предельной теоремы
вытекает, что при достаточно большом
объеме выборки выборочная оценка p^{^}приближенно подчиняется
нормальному распределению, имеющему
среднее р и стандартное отклонение σ_ˆp
. Однако при значениях р, близких к 0 или
1, и при малом объеме выборки это не так.
При какой численности выборки можно
пользоваться приведенным способом
оценки? Математическая статистика
утверждает, что нормальное распределение
служит хорошим приближением, если np^{^}и n(1-p^{^})
превосходят 5. Напомним, что примерно
95% всех членов нормально распределенной
совокупности находятся в пределах двух
стандартных отклонений от среднего.
Поэтому если перечисленные условия
соблюдены, то с вероятностью 95% можно
утверждать, что истинное значение р
лежит в пределах np^{^}и n(1-p^{^}).

Вернемся на минуту к сравнению операционной
летальности при галотановой и морфиновой
анестезии. Напомним, что при использовании
галотана летальность составила 13,1%
(численность группы — 61 больной), а при
использовании морфина —

14,9% (численность группы — 67 больных).
Стандартная ошибка доли для группы

Если учесть, что различие в летальности
составило лишь 2%, то маловероятно, чтобы
оно было обусловлено чем-нибудь, кроме
случайного характера выборки.

Перечислим те предпосылки, на которых
основан излагаемый подход. Мы изучаем
то, что в статистике принято называть
независимыми испытаниями Бернулли.
Эти испытания обладают следующими
свойствами.

• Каждое отдельное испытание имеет
ровно два возможных взаимно исключающих
исхода.

• Вероятность данного исхода одна и та
же в любом испытании.

• Все испытания независимы друг от
друга.

Соседние файлы в папке Старый материал

Источник

Стандартная ошибка пропорции: формула и пример

17 авг. 2022 г.
читать 1 мин

Часто в статистике нас интересует оценка доли людей в популяции с определенной характеристикой.

Например, нас может заинтересовать оценка доли жителей определенного города, поддерживающих новый закон.

Вместо того, чтобы ходить и спрашивать каждого жителя, поддерживают ли они закон, мы вместо этого собираем простую случайную выборку и выясняем, сколько жителей в выборке поддерживают закон.

Затем мы рассчитали бы долю выборки (p̂) как:

Пример формулы пропорции:

р̂ = х / п

куда:

x: количество лиц в выборке с определенной характеристикой.
n: общее количество лиц в выборке.

Затем мы использовали бы эту пропорцию выборки для оценки доли населения. Например, если 47 из 300 жителей выборки поддержали новый закон, то выборочная доля будет рассчитана как 47/300 = 0,157 .

Это означает, что наша наилучшая оценка доли жителей в населении, поддержавших закон, будет равна 0,157 .

Однако нет никакой гарантии, что эта оценка будет точно соответствовать истинной доле населения, поэтому мы обычно также рассчитываем стандартную ошибку доли .

Это рассчитывается как:

Стандартная ошибка формулы пропорции:

Стандартная ошибка = √ p̂(1-p̂) / n

Например, если p̂ = 0,157 и n = 300, то мы рассчитали бы стандартную ошибку пропорции как:

Стандартная ошибка пропорции = √ 0,157 (1-0,157) / 300 = 0,021

Затем мы обычно используем эту стандартную ошибку для расчета доверительного интервала для истинной доли жителей, поддерживающих закон.

Это рассчитывается как:

Доверительный интервал для формулы доли населения:

Доверительный интервал = p̂ +/- z * √ p̂(1-p̂) / n

Глядя на эту формулу, легко увидеть, что чем больше стандартная ошибка пропорции, тем шире доверительный интервал .

Обратите внимание, что z в формуле — это z-значение, которое соответствует популярным вариантам выбора уровня достоверности:

| Уровень достоверности | z-значение | | — | — | | 0,90 | 1,645 | | 0,95 | 1,96 | | 0,99 | 2,58 |

Например, вот как рассчитать 95% доверительный интервал для истинной доли жителей города, поддерживающих новый закон:

95% ДИ = p̂ +/- z * √ p̂(1-p̂) / n
95% ДИ = 0,157 +/- 1,96 * √ 0,157 (1-0,157) / 300
95% ДИ = 0,157 +/- 1,96*(0,021)
95% ДИ = [0,10884, 0,19816]

Таким образом, с уверенностью 95% можно сказать, что истинная доля жителей города, поддерживающих новый закон, составляет от 10,884% до 19,816%.

Дополнительные ресурсы

Стандартная ошибка калькулятора пропорций
Доверительный интервал для калькулятора пропорций
Что такое доля населения?

Источник

Загрузить PDF

Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.

1

Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
2

Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
3

Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
4

Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
5

Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
6

Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.

Реклама

1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
  Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
  Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
  Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама

1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
  Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.

Советы

Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 48 054 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Для значения, которое выбирается с несмещенной ошибкой с нормальным распределением, приведенное выше показывает долю выборок, которая будет находиться между 0, 1, 2 и 3 стандартными отклонениями выше и ниже фактического значения.

Стандартная ошибка ( SE ) из статистики (обычно подсчет параметра ) является стандартным отклонением ее выборочного распределения или оценка этого стандартного отклонения. Если статистика является выборочным средним, это называется стандартной ошибкой среднего ( SEM ).

Распределение выборки из среднего генерируется путем повторного отбора образцов из того же населения и записи средств, полученных образцов. Это формирует распределение различных средних, и это распределение имеет собственное среднее значение и дисперсию . Математически дисперсия полученного распределения выборки равна дисперсии генеральной совокупности, деленной на размер выборки. Это связано с тем, что по мере увеличения размера выборки средние значения выборки сгруппируются более близко к среднему значению генеральной совокупности.

Следовательно, соотношение между стандартной ошибкой среднего и стандартным отклонением таково, что для данного размера выборки стандартная ошибка среднего равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень из размера выборки. Другими словами, стандартная ошибка среднего — это мера разброса выборочных средних вокруг среднего по генеральной совокупности.

В регрессионном анализе термин «стандартная ошибка» относится либо к квадратному корню из приведенной статистики хи-квадрат, либо к стандартной ошибке для конкретного коэффициента регрессии (который используется, например, в доверительных интервалах ).

Стандартная ошибка среднего

Точное значение

Если статистически независимые выборки наблюдений берется из статистической совокупности с стандартным отклонением от, то среднее значение, рассчитанное из образца будет иметь ассоциированную стандартную ошибку среднего значения на заданном с помощью:
$п$ ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ $сигма$ ${ bar {x}}$ ${ displaystyle { sigma} _ { bar {x}}}$

${ displaystyle { sigma} _ { bar {x}} = { frac { sigma} { sqrt {n}}}}$ .

На практике это говорит нам о том, что при попытке оценить значение среднего по совокупности из-за фактора уменьшение ошибки оценки в два раза требует получения в четыре раза большего количества наблюдений в выборке; уменьшение его в десять раз требует в сто раз больше наблюдений.
$1 / { sqrt {n}}$

Оценивать

Стандартное отклонение отобранной совокупности известно редко. Таким образом, стандартная ошибка среднего обычно оцениваются путем замены с стандартным отклонением выборки вместо:
$сигма$ $сигма$ $sigma _ {x}$

${ displaystyle { sigma} _ { bar {x}} приблизительно { frac { sigma _ {x}} { sqrt {n}}}}$ .

Поскольку это только оценка истинной «стандартной ошибки», здесь часто встречаются другие обозначения, такие как:

${ displaystyle { widehat { sigma}} _ { bar {x}} = { frac { sigma _ {x}} { sqrt {n}}}}$ или поочередно . ${ displaystyle {s} _ { bar {x}} = { frac {s} { sqrt {n}}}}$

Общим источником путаницы возникает при отсутствии четко различать между стандартным отклонением населения ( ), стандартное отклонение выборки ( ), стандартное отклонение среднего само по себе (, который является стандартная ошибка), а оценка из стандартное отклонение среднего ( которое является наиболее часто вычисляемой величиной и также часто в просторечии называется стандартной ошибкой ).
$сигма$ $sigma _ {x}$ ${ displaystyle sigma _ { bar {x}}}$ ${ displaystyle { widehat { sigma}} _ { bar {x}}}$

Точность оценщика

Когда размер выборки невелик, использование стандартного отклонения выборки вместо истинного стандартного отклонения генеральной совокупности будет иметь тенденцию к систематическому занижению стандартного отклонения генеральной совокупности, а, следовательно, и стандартной ошибки. При n = 2 занижение составляет около 25%, но для n = 6 занижение составляет всего 5%. Гурланд и Трипати (1971) предлагают поправку и уравнение для этого эффекта. Сокал и Рольф (1981) приводят уравнение поправочного коэффициента для малых выборок n <20. См. Несмещенную оценку стандартного отклонения для дальнейшего обсуждения.

Вывод

Стандартная ошибка среднего может быть получена из дисперсии суммы независимых случайных величин с учетом определения дисперсии и некоторых ее простых свойств . Если это независимые наблюдения от совокупности со средним значением и стандартным отклонением, то мы можем определить общую
${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ $п$ ${ bar {x}}$ $сигма$

${ Displaystyle T = (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n})}$

которые по формуле Биенайме будут иметь дисперсию

${ displaystyle operatorname {Var} (T) = { big (} operatorname {Var} (x_ {1}) + operatorname {Var} (x_ {2}) + cdots + operatorname {Var} ( x_ {n}) { big)} = n sigma ^ {2}.}$

Среднее значение этих измерений просто дается выражением
${ bar {x}}$

${ displaystyle { bar {x}} = Т / п}$ .

Тогда дисперсия среднего составляет

${ displaystyle operatorname {Var} ({ bar {x}}) = operatorname {Var} left ({ frac {T} {n}} right) = { frac {1} {n ^ { 2}}} operatorname {Var} (T) = { frac {1} {n ^ {2}}} n sigma ^ {2} = { frac { sigma ^ {2}} {n}} .}$

Стандартная ошибка — это, по определению, стандартное отклонение, которое представляет собой квадратный корень из дисперсии:
${ bar {x}}$

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = { sqrt { frac { sigma ^ {2}} {n}}} = { frac { sigma} { sqrt {n}}}}$ .

Для коррелированных случайных величин дисперсия выборки должна быть вычислена в соответствии с центральной предельной теоремой Маркова .

Независимые и одинаково распределенные случайные величины со случайным размером выборки

Бывают случаи, когда образец берут, не зная заранее, сколько наблюдений будет приемлемым по какому-либо критерию. В таких случаях размер выборки является случайной величиной, вариация которой добавляется к вариации, так что,
$N$ $Икс$

${ Displaystyle OperatorName {Var} (T) = OperatorName {E} (N) OperatorName {Var} (X) + Operatorname {Var} (N) { big (} Operatorname {E} (X) { big)} ^ {2}}$

Если имеет распределение Пуассона, то с оценкой . Следовательно, оценка становится, приводя к следующей формуле для стандартной ошибки:
$N$ ${ Displaystyle OperatorName {E} (N) = OperatorName {Var} (N)}$ ${ displaystyle N = n}$ ${ displaystyle operatorname {Var} (T)}$ ${ displaystyle nS_ {X} ^ {2} + n { bar {X}} ^ {2}}$

${ displaystyle operatorname {Standard ~ Error} ({ bar {X}}) = { sqrt { frac {S_ {X} ^ {2} + { bar {X}} ^ {2}} {n }}}}$

(поскольку стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии)

Приближение Стьюдента при неизвестном значении σ

Во многих практических приложениях истинное значение σ неизвестно. В результате нам нужно использовать распределение, которое учитывает этот разброс возможных σ . Когда известно, что истинное базовое распределение является гауссовым, хотя и с неизвестным σ, тогда полученное оцененное распределение следует t-распределению Стьюдента. Стандартная ошибка — это стандартное отклонение t-распределения Стьюдента. Т-распределения немного отличаются от гауссовых и меняются в зависимости от размера выборки. Небольшие выборки с большей вероятностью недооценивают стандартное отклонение совокупности и имеют среднее значение, которое отличается от истинного среднего значения совокупности, а t-распределение Стьюдента учитывает вероятность этих событий с несколько более тяжелыми хвостами по сравнению с гауссовым. Для оценки стандартной ошибки t-распределения Стьюдента достаточно использовать выборочное стандартное отклонение «s» вместо σ, и мы могли бы использовать это значение для вычисления доверительных интервалов.

Примечание. Распределение вероятностей Стьюдента хорошо аппроксимируется распределением Гаусса, когда размер выборки превышает 100. Для таких выборок можно использовать последнее распределение, которое намного проще.

Предположения и использование

Пример того, как это используется, — это сделать доверительные интервалы для неизвестного среднего значения генеральной совокупности. Если распределение выборки имеет нормальное распределение, среднее значение выборки, стандартная ошибка и квантили нормального распределения могут использоваться для расчета доверительных интервалов для истинного среднего значения генеральной совокупности. Следующие выражения могут быть использованы для расчета верхнего и нижнего 95% доверительных интервалов, где равно среднему значению выборки, равно стандартной ошибке для среднего значения выборки, а 1,96 является приблизительным значением точки процентиля 97,5 нормального распространение :
${ displaystyle operatorname {SE}}$ ${ bar {x}}$ ${ displaystyle operatorname {SE}}$

Верхний предел 95% и ${ displaystyle = { bar {x}} + ( operatorname {SE} times 1,96),}$

Нижний предел 95% ${ displaystyle = { bar {x}} - ( operatorname {SE} times 1.96).}$

В частности, стандартная ошибка выборочной статистики (например, выборочное среднее ) — это фактическое или расчетное стандартное отклонение выборочного среднего в процессе, в котором оно было создано. Другими словами, это фактическое или оценочное стандартное отклонение выборочного распределения статистической выборки. Обозначение для стандартной ошибки может быть любым из SE, SEM (для стандартной ошибки измерения или среднего ), или S _E .

Стандартные ошибки обеспечивают простые меры неопределенности значения и часто используются, потому что:

во многих случаях, если известна стандартная ошибка нескольких отдельных величин, то стандартную ошибку некоторой функции величин можно легко вычислить;
когда распределение вероятностей значения известно, его можно использовать для вычисления точного доверительного интервала ;
когда распределение вероятностей неизвестно, для расчета консервативного доверительного интервала можно использовать неравенства Чебышева или Высочанского – Петунина ; а также
поскольку размер выборки стремится к бесконечности, центральная предельная теорема гарантирует, что выборочное распределение среднего является асимптотически нормальным .

Стандартная ошибка среднего значения по сравнению со стандартным отклонением

В научно-технической литературе экспериментальные данные часто обобщаются либо с использованием среднего значения и стандартного отклонения выборочных данных, либо среднего значения со стандартной ошибкой. Это часто приводит к путанице в отношении их взаимозаменяемости. Однако среднее значение и стандартное отклонение являются описательной статистикой, тогда как стандартная ошибка среднего описывает процесс случайной выборки. Стандартное отклонение данных выборки — это описание вариации в измерениях, в то время как стандартная ошибка среднего — это вероятностное утверждение о том, как размер выборки обеспечит лучшую границу оценок среднего для генеральной совокупности в свете центрального предела. теорема.

Проще говоря, стандартная ошибка выборочного среднего — это оценка того, насколько далеко среднее значение выборки может быть от среднего значения по совокупности, тогда как стандартное отклонение выборки — это степень, в которой отдельные лица в выборке отличаются от выборочного среднего. Если стандартное отклонение генеральной совокупности конечно, стандартная ошибка среднего значения выборки будет стремиться к нулю с увеличением размера выборки, потому что оценка генерального среднего будет улучшаться, в то время как стандартное отклонение выборки будет иметь тенденцию приближаться к стандарту генеральной совокупности. отклонение по мере увеличения размера выборки.

Расширения

Поправка на конечную популяцию (FPC)

Приведенная выше формула для стандартной ошибки предполагает, что размер выборки намного меньше, чем размер генеральной совокупности, так что совокупность может считаться фактически бесконечной по размеру. Обычно это имеет место даже в случае конечных популяций, потому что большую часть времени люди в первую очередь заинтересованы в управлении процессами, которые создали существующую конечную популяцию; это называется аналитическим исследованием вслед за У. Эдвардсом Демингом . Если люди заинтересованы в управлении существующей конечной совокупностью, которая не будет меняться с течением времени, то необходимо сделать поправку на размер популяции; это называется перечислительным исследованием .

Когда доля выборки (часто называемая f ) велика (примерно 5% или более) в переписном исследовании, оценка стандартной ошибки должна быть скорректирована путем умножения на «поправку на конечную совокупность» (также известную как fpc ):

${ displaystyle operatorname {FPC} = { sqrt { frac {Nn} {N-1}}}}$

что для больших N :

${ displaystyle operatorname {FPC} приблизительно { sqrt {1 - { frac {n} {N}}}} = { sqrt {1-f}}}$

чтобы учесть дополнительную точность, полученную за счет выборки, близкой к большему проценту населения. Эффект FPC является то, что ошибка становится равной нулю, когда размер выборки п равен размеру популяции N .

Это происходит в методологии обследования при выборке без замены . Если выборка с заменой, то FPC не играет роли.

Поправка на корреляцию в выборке

Ожидаемая ошибка среднего значения A для выборки из n точек данных с коэффициентом смещения выборки ρ . Несмещенная стандартная ошибка строится как диагональная линия ρ = 0 с логарифмическим наклоном −½.

Если значения измеренной величины A не являются статистически независимыми, но были получены из известных мест в пространстве параметров x, несмещенная оценка истинной стандартной ошибки среднего (фактически поправка на часть стандартного отклонения) может быть получена путем умножения рассчитанная стандартная ошибка выборки по коэффициенту f :

$f = { sqrt { frac {1+ rho} {1- rho}}},$

где коэффициент смещения выборки ρ представляет собой широко используемую оценку Прайса – Винстена коэффициента автокорреляции (величина от -1 до +1) для всех пар точек выборки. Эта приблизительная формула предназначена для выборки среднего и большого размера; Справочник дает точные формулы для любого размера выборки и может применяться к сильно автокоррелированным временным рядам, таким как котировки акций Уолл-стрит. Более того, эта формула работает как для положительного, так и для отрицательного значения ρ. См. Также объективную оценку стандартного отклонения для более подробного обсуждения.

Смотрите также

Иллюстрация центральной предельной теоремы
Допустимая погрешность
Вероятная ошибка
Стандартная ошибка средневзвешенного значения
Среднее значение выборки и ковариация выборки
Стандартная ошибка медианы
Дисперсия

использованная литература

Источник

Что характеризует стандартная ошибка доли

Точность оценки долей

Стандартная ошибка пропорции: формула и пример

Дополнительные ресурсы

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Стандартная ошибка среднего

Точное значение

Оценивать

Точность оценщика

Вывод

Независимые и одинаково распределенные случайные величины со случайным размером выборки

Приближение Стьюдента при неизвестном значении σ

Предположения и использование

Стандартная ошибка среднего значения по сравнению со стандартным отклонением

Расширения

Поправка на конечную популяцию (FPC)

Поправка на корреляцию в выборке

Смотрите также

использованная литература

А вот еще интересные материалы: